Intégration des outils numériques en mathématiques. Quelles leçons tirer du cas tableur ? 1/2

Les outils numériques occupent une place grandissante dans les programmes de la scolarité obligatoire en France. Les mathématiques n’échappent pas à la règle mais intégrer les technologies dans cette discipline semble soulever des difficultés singulières alors que, paradoxalement, les ressources foisonnent et que de nombreuses recherches démontrent les potentialités des technologies pour l’apprentissage de concepts mathématiques (voir, par exemple, Artigue, 2015). En s’appuyant sur l’exemple du tableur, cet article se propose d’expliquer ce paradoxe au-delà des arguments courants (conservatisme des enseignants, manque de matériel…). Introduit dans les programmes, à la fin des années 1990, le tableur a fait l’objet de multiples recherches dont les résultats mettent en lumière des questions sous-estimées dans les ressources comme dans les programmes, montrant qu’intégrer le tableur en mathématiques ne va pas de soi.

À destination des enseignants, ce premier article montre quelques exemples des potentialités du tableur. Le second expliquera pourquoi il n’est pas si aisé d’exploiter ces potentialités en exposant des phénomènes dits « d’instrumentation ». Les leçons à tirer dépassent le seul cas du tableur pour s’appliquer aux technologies plus récentes dès lors qu’elles mettent en jeu ces questions.

Les résultats sont issus d’une recherche (Haspekian, 2005) dont le contexte est l’intégration du tableur pour l’enseignement et l’apprentissage de l’algèbre au collège, et qui partait d’un paradoxe : d’un côté, on trouvait un foisonnement de recherches favorables à cette intégration, une prescription institutionnelle forte, des ressources pour les enseignants (voir, par exemple, une publication sur ce thème de l’académie de Nantes, 2013) ; de l’autre, des pratiques enseignantes plutôt réticentes en mathématiques.

Comprendre ce paradoxe a permis d’aborder les divers aspects instrumentaux qui questionnent les pratiques. Commençons, dans ce premier article, par exposer quelques-unes des potentialités du tableur, issues de la recherche.

Depuis que les outils technologiques ont fait leur apparition, des études cherchent à cerner les bénéfices possibles pour apprendre les mathématiques. Un état des lieux sur ce thème de la Commission internationale pour l’enseignement des mathématiques (ICMI, 1985) montre par exemple des potentialités en termes de visualisation des interfaces graphiques des calculatrices. Pour le tableur, plusieurs recherches ont de même montré l’intérêt de cet outil pour la scolarité en mathématiques. Un point commun à la majorité de ces recherches est qu’elles concernent l’apprentissage de l’algèbre au collège (exemples : Hitt, Saboya and Cortés Zavala, 2016 ; Tabach, Hershkowitz, and Dreyfus, 2013 ; Nobre, Amado, and Carreira, 2013). Selon ces travaux, au regard des difficultés usuelles de l’algèbre, le tableur peut aider les élèves à effectuer la transition de l’arithmétique vers l’algèbre.

Nous développons ici trois exemples.

Les potentialités du tableur résident ici dans ses caractéristiques de calcul différentes de celles en environnement papier. Les différences se situent au niveau des grandes capacités calculatoires, automatisables et interactives, mais aussi des registres de représentations, ainsi que des techniques de résolution dans cet environnement (Capponi, 1999).

La recopie automatique permet d’appliquer en un geste une même formule à un grand nombre de données. Le fonctionnement dynamique permet, quant à lui, la réactualisation instantanée de ces résultats lorsqu’on modifie les valeurs des variables auxquelles on a appliqué la formule. Ainsi, l’interactivité dans le tableur offre des expériences calculatoires plus riches qu’en papier-crayon : grâce aux rétroactions numériques d’une formule, l’élève peut expérimenter une formule, conjecturer des résultats sur des transformations de formules, ou encore déceler des erreurs de formules.

En outre, selon Capponi (2000), le tableur mêle plusieurs registres de représentation qui peuvent aider à articuler arithmétique et algèbre, monde symbolique et monde numérique, tout en passant par le langage naturel. Sans même parler du registre graphique, on y trouve en effet présents le registre numérique, celui des formules qui sont la source de ces valeurs numériques, mais aussi le registre textuel (aidant l’élève à garder en tête ce qu’il calcule).

Pour Capponi (1999), écrire une formule dans le tableur oblige à l’utilisation d’une écriture symbolique proche des écritures en algèbre. De plus, le recours à l’usage de lettres ici est inhérent à l’outil, il apparaît ainsi de façon plus naturelle que dans certaines situations didactiques en environnement papier-crayon, dans lesquelles ce recours est très souvent imposé de façon plus ou moins artificielle par l’enseignant.

Toutes ces possibilités calculatoires et interactives confèrent ainsi au tableur une nature d’outil hybride, à la fois arithmétique et algébrique. Elles peuvent ainsi être exploitées selon les recherches pour favoriser en classe la transition numérique/algébrique en jouant sur cette nature hybride.

Les travaux (Arzarello et al., 2001 ; Dettori et al., 2001) soulignent également ces potentialités pour apprendre la notion de formule et de variable en algèbre.

Selon Arzarello et ses collègues, comme tout langage écrit, l’algèbre a une dualité sémantique (sens)/syntaxique que les élèves ont du mal à appréhender et qu’on a du mal également à enseigner.

Selon ces auteurs, pour changer d’écriture tout en se référant au même objet mathématique, on utilise le pouvoir syntaxique de l’algèbre (fig. 1), tandis que pour changer de sens, tout en se référant à la même écriture symbolique, c’est cette fois le levier sémantique de l’algèbre qui agit (fig. 2).

Pour les auteurs, l’algèbre consiste en un jeu d’interprétations dans lequel l’expert navigue, activant tantôt des changements de sens, tantôt des changements d’écriture pour avancer vers la résolution voulue du problème. Ce jeu explique les difficultés des élèves et les différences entre un apprenant et un expert. Tandis qu’un expert sait quand jouer sur le sens en conservant la même syntaxe, ou quand jouer sur les écritures, les élèves rencontrent des difficultés à rentrer dans ce jeu d’interprétation tantôt syntaxique, tantôt symbolique.

Les recherches (Arzarello et al., 2001) montrent alors que les fonctionnalités du tableur aident les élèves à rentrer dans ce jeu sémantique/syntaxique. En effet, on peut faire calculer au tableur les valeurs de la formule n(n+1) dans une colonne en faisant varier les valeurs de n. Un grand nombre de valeurs peuvent être affichées rapidement en utilisant la recopie. Grâce à une deuxième colonne affichant cette fois les valeurs obtenues pour la formule n²+n, les élèves peuvent constater l’égalité avec la première colonne. L’utilisation du tableur favorise ainsi dans cette situation l’observation par les élèves de l’égalité des deux formules.

La question qui en résulte porte alors sur la généralisation de ce constat : elle mène à prouver l’égalité pour toute valeur de n de ces deux formules.

Le paragraphe suivant zoome sur une dernière potentialité du tableur évoquée dans les recherches : celle des méthodes de résolution de problèmes. Le tableur, là encore, aide les élèves à passer des méthodes de résolution arithmétiques aux méthodes algébriques.

Entre pensée arithmétique et pensée algébrique, Rojano et Sutherland (1997) listent des grandes transitions. Il s’agit d’aller :

• du spécifique vers le général ;
• du numérique et verbal vers le littéral ;
• d’un travail sur du connu vers un travail utilisant également des inconnues ;
• de démarches arithmétiques de résolution de problèmes, selon elles « méthodes numériques intuitives des élèves », vers des démarches algébriques, algorithmisées.

Pour elles, le tableur aide les élèves à effectuer « en douceur » toutes ces transitions. Nous avons analysé leur propos sur cette dernière catégorie, les méthodes de résolution, à partir d’un problème de partage qu’elles proposent : le problème des chocolats. Celui-ci met en jeu 3 inconnues (nombre de chocolats de 3 groupes d’enfants). La comparaison des résolutions possibles de ce problème avec une méthode arithmétique (essai/erreur), puis algébrique (système de 3 équations), et enfin utilisant le tableur (feuille de calculs automatisée dans laquelle on teste des valeurs des inconnues), montre que la démarche tableur se rapproche de l’algèbre, tout en gardant certains aspects de la résolution numérique essai/erreur. On n’est plus complètement dans la méthode calculatoire numérique essai/erreur : dans le tableur, cette démarche a la particularité que les calculs sont organisés (ici, en tableau) et automatisés par des formules. Mais on n’est pas tout à fait non plus dans la méthode algébrique : la démarche globale reste de l’essai/erreur et il n’y a aucun calcul algébrique pour opérer avec des inconnues. En conclusion, l’utilisation du tableur permet ici un entre-deux facilitant la transition de l’arithmétique à algèbre et dirigeant les élèves vers un plus grand niveau d’abstraction. Le lecteur intéressé pourra se référer à la section « Voir aussi » pour la référence détaillant cette analyse.

Ainsi, la recherche en didactique des mathématiques souligne que le tableur est un outil qui offre des potentialités pour l’enseignement, notamment l’apprentissage de l’algèbre élémentaire. Ses caractéristiques favorisent particulièrement la transition de l’arithmétique vers l’algébrique. Ces potentialités théoriques pour l’apprentissage de l’algèbre sont à mettre en regard des pratiques enseignantes effectives utilisant le tableur en classe. La question est alors de mieux comprendre quelles sont les conditions nécessaires pour que les enseignants puissent tirer bénéfice du tableur.

Mariam Haspekian, maître de conférences, Université de Paris, EDA

Le tableur peut être utilisé dans le domaine des statistiques mais aussi pour l’algèbre élémentaire comme le montrent les travaux cités ici :

• Capponi B. (2000), « Tableur, arithmétique et algèbre », L’Algèbre au lycée et au collège, Actes des journées de formation de formateurs, 4-5 juin 1999 (p. 58-66), IREM de Montpellier ;
• Capponi B. (1999), « Le tableur pour le collège, un outil pour l’enseignement des mathématiques », Petit x, 52, p.5-42.
• Haspekian M. (2005), Intégration d’outils informatiques dans l’enseignement des mathématiques, Étude du cas des tableurs, thèse de doctorat, Université Paris 7 : IREM de Paris 7.

Pour une exploitation du tableur, particulièrement en algèbre, on peut alors souligner les potentiels suivants issus des recherches (Rojano, 1993 ; Capponi, 2000) :

• une grande capacité calculatoire ;
• un langage interactif qui s’apparente à de l’algèbre mais dont l’utilisation des symboles est liée à l’environnement et non à un contrat didactique ;
• une représentation multiple dans l’affichage à l’écran (langue naturelle, formules, registres numérique et graphique) ;
• une base de travail pour développer des méthodes de résolution plus algébriques. (Rojano, 1993) et aider l’élève à surmonter les difficultés spécifiques diagnostiquées en algèbre en jouant sur les grandes transitions entre l’arithmétique et l’algèbre, et plus particulièrement, en jouant sur les démarches de résolution.

Pour aller plus loin, sur le problème dit « des chocolats » (Rojano & Sutherland, 1997), le lecteur intéressé trouvera dans l’annexe 1 de cette publication (p. 12 à 15) une analyse comparant les méthodes possibles pour le résoudre : méthodes arithmétiques (analyse/synthèse, essai/erreur en papier crayon), méthodes « algébriques », et méthodes « tableur » (essai/erreur) :

https://www.researchgate.net/publication/355164555_LES_RAPPORTS_ENTRE_NUMERIQUE_ET_ALGEBRIQUE_DANS_L'ENVIRONNEMENT_TABLEUR_QUESTIONS_D'INSTRUMENTATION_Atelier_a_l'Ecole_d'Ete_de_Didactique_des_Mathematiques_2005_Sainte-Livrade

Académie de Nantes (2013), Le Tableur au service de l’activité mathématique au collège, F. Munck (dir.), Inspection académique de Nantes, ministère de l’Éducation nationale, de l'Enseignement supérieur et de la Recherche. https://www.pedagogie.ac-nantes.fr/mathematiques/enseignement/le-tableur-au-service-de-l-activite-mathematique-au-college-750228.kjsp?RH=1190812544640

Artigue M. (2015), « Enseignement et apprentissage de l’algèbre au collège : quel apport des TICE », Bulletin de l’APMEP, 514, p. 326-340.

Arzarello F., Bazzini L. and Chiappini G. (2001), “A model for analysing algebraic processes of thinking”, in R. Sutherland, T. Assude, A. Bell and R. Lins (eds.), Perspectives on school algebra, Dordrecht:Kluwer Academic Publishers, vol. 22, p. 61-81.

Dettori G., Garuti R. and Lemut E. (2001), “From arithmetic to algebraic thinking by using a spreadsheet”, in R. Sutherland, T. Assude, A. Bell and R. Lins (Eds.), Perspectives on school algebra, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers., p. 191-207.

Haspekian M. (2005), Intégration d’outils informatiques dans l’enseignement des mathématiques. Étude du cas des tableurs, thèse de doctorat, Université Paris 7 : IREM de Paris 7.

Hitt F., Saboya M., Cortés Zavala C. (2016), “An arithmetic-algebraic workspace for the promotion of arithmetic and algebraic thinking: triangular numbers”, ZDM - Mathematics Education, 48(6), p. 775-791.

ICMI (1985), The Influence of Computers and Informatics on Mathematics and its Teaching, Université Louis-Pasteur, Strasbourg.

Nobre S., Amado N., Carreira S. (2013), “Solving a contextual problem with the spreadsheet as an environment for algebraic thinking development”, Teaching Mathematics and its Applications, 31(1), p.  11-19.

Rojano T. & Sutherland R. (1997), “Pupils' strategies and the Cartesian method for solving problems: the role of spreadsheets”, Proceedings of the 21^st International Conference for the Psychology of Mathematics Education, Lathi, Finland, vol. 4, p. 72-79.

Tabach M., Hershkowitz R., Dreyfus T. (2013), “Learning beginning algebra in a computer-intensive environment”, ZDM - Mathematics Education, 45(3), p. 377-391.

Date de publication : 2022