Modéliser par une fonction une situation mathématique

Description

Les études de figures à géométrie variable sont proposées en fin de cycle 4 et en lycée pour apporter des éléments sur la notion de fonction. Afin de sécuriser le passage de la géométrie à l’algèbre, nous présentons ici des méthodes pour décortiquer un même énoncé et faciliter son appropriation.

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Cette fiche s’adresse particulièrement aux élèves qui développent des phénomènes d’appréhension face à des situations de problèmes ouverts et qui n’arrivent pas de facto à s’investir dans la tâche qui leur est proposée.

Nous allons apporter étape par étape des éléments à cet énoncé en mettant en œuvre un processus explicatif. L’idée centrale du processus étant soit de renforcer la correspondance entre texte et figure, soit de clarifier les éléments variants et invariants de la figure.

Première étape : associer le texte et la figure

Il s’agit ici de renforcer par des encadrés et des jeux de couleurs le lien entre tel et tel mot de l’énoncé et un ou plusieurs éléments de la figure. On notera que le jeu de couleurs se veut être véritablement inventif, afin de susciter de l’appétence pour l’élève. Il peut toutefois être intéressant de conserver ces normes tout au long de l’année pour alléger la charge cognitive liée à l’aspect méthodologique.

Apports d’éléments signifiants sur l’énoncé

Dans la figure ci-dessous :

Deuxième étape : dissocier ce qui est « fixe » de ce qui « bouge »

L’idée des apports de cette partie est de différencier les éléments géométriques mobiles de ceux qui sont fixes dans la figure. On dissocie ainsi les mesures qui vont rester constantes (indépendantes de la position du point variable) de celles qui vont varier (dépendantes de la position du point variable).

Fixe/Mobile ; Constant/Variable

Troisième étape : dissocier les points qui jouent « les premiers rôles » de ceux qui jouent « les seconds rôles »

Les rôles joués par les points dans une figure à géométrie variable peuvent être utilement classés en deux catégories :

• certains sont fixes et ne subissent pas le changement ;
• d’autres sont moteurs du changement ou subissent le changement.

On peut ainsi parler de points qui jouent les premiers rôles (points « Parents ») des points qui jouent les seconds rôles (points « Enfants »).

Quatrième étape : expliciter des points d’achoppement

Un premier point d’achoppement

Une fois la variable x identifiée en tant que mesure en centimètres du segment [AM], une des difficultés classiques réside dans la détermination de la longueur de [MB] en fonction de x. Il convient pour décortiquer son expression d’isoler la partie de la figure à observer. Isoler l’élément à observer, élément qui va être le support du raisonnement, est une aide précieuse pour certains élèves qui se perdent bien souvent dans l’observation de la figure dans son intégralité.

Extraction d’une partie de l’énoncé

Dans la figure ci-dessous :

Un deuxième point d’achoppement

Dans de nombreuses figures à géométrie variable, la figure à étudier est composée de plusieurs figures. L’écueil rencontré par les élèves est de considérer ladite figure dans sa globalité et, au contraire, de ne pas la considérer composante par composante. Extraire de la figure de l’énoncé fournie dans sa globalité l’élément à observer et à étudier permet à l’élève de centrer son attention sur ladite composante et de développer ainsi une démarche structurée d’étude de ce type de figure.

Extraction d’une partie de l’énoncé

Dans la figure ci-dessous :

• AB = 8 cm
• Le point M est un point mobile sur le segment [AB].
• Les triangles AMN et MBP sont rectangles et isocèles.

Conclusion

Les différentes parties que nous venons de développer ont pour intention de développer une véritable explicative. Pour certains élèves, leur montrer une figure construite avec GeoGebra suffit à ce qu’il y ait un entendement précis de la situation étudiée et de ce qui leur est demandé. Pour d’autres, la figure qui « bouge » ne correspond à rien et les blocages auxquels ils sont confrontés sont bien souvent levés grâce à la décortication d’une ou plusieurs des étapes que nous avons exposées.