L'histoire des mathématiques

Pourquoi et comment l’intégrer dans sa pratique de classe ?

  Point de vue de Nathalie Chevalarias, professeure agrégée de mathématiques au lycée pilote innovant international à Jaunay-Marigny (86), membre de l’Institut de recherche sur l’enseignement des mathématiques et des sciences (IREM&S) de Poitiers, coresponsable de la commission inter-IREM « Épistémologie et histoire des mathématiques », et responsable du groupe « Histoire des mathématiques » de l’Association des professeurs de mathématiques (Apmep).

Juin 2020 – 11 minutes

L’arrivée d’items d’histoire dans les programmes de mathématiques du lycée en 2019 est une première qui soulève beaucoup d’interrogations. Quels sont leurs intérêts ? Comment les mettre en œuvre ? Où trouver des aides et des sources ?

En 2019, les programmes de mathématiques de la série générale réservent une place inédite à l’histoire des mathématiques. Dans les programmes successifs des années précédentes, on trouvait déjà une ou deux phrases en introduction, pour indiquer l’intérêt de l’histoire et de l’épistémologie des mathématiques, comme éléments culturels et comme supports de compréhension des notions. Mais rien de plus. Charge à l’enseignant intéressé de chercher des idées, des supports, des activités. En 2019, on trouve la même incitation générale : « Il peut être judicieux d’éclairer le cours par des éléments de contextualisation d’ordre historique, épistémologique ou culturel. L’histoire peut aussi être envisagée comme une source féconde de problèmes clarifiant le sens de certaines notions » ; mais cette fois, elle est complétée par : « Les items ‟Histoire des mathématiques” identifient quelques possibilités en ce sens. »

Ces items sont détaillés dans chaque programme (seconde, spécialité de première, spécialité de terminale, mathématiques expertes et mathématiques complémentaires), et pour chaque partie (nombres, algèbre, analyse, géométrie, probabilités, algorithmique, etc.). On y trouve des noms de mathématiciens, des notions historiques, des liens avec les contenus. Par exemple, dans le programme de spécialité de terminale, série générale : « Le calcul différentiel s’est développé de concert avec la physique mathématique au XVIIe siècle. Parmi les initiateurs, Fermat, Huygens, Pascal et Barrow reconnaissent que le problème des aires (le calcul intégral) est le problème inverse de celui des tangentes (la dérivation) ; ce thème peut être abordé à partir des travaux sur la quadrature de l’hyperbole. »

Ces items constituent une véritable nouveauté au sein des programmes de mathématiques. Mais ils induisent de nouvelles questions pour tous les enseignants : comment articuler les éléments d’histoire avec les contenus du programme ? comment construire des activités, des exercices ? où trouver des ressources ? comment se former ?

Une réflexion engagée depuis de nombreuses années

Avant même de recevoir des préconisations aussi précises de la part du ministère, des groupes de travail sur l’histoire et l’épistémologie des mathématiques s’étaient déjà formés au sein des Instituts de recherche sur l’enseignement des mathématiques (IREM).

Les IREM ont fêté leurs 50 ans l’an dernier. Depuis leur création, ces instituts associent recherche sur l’enseignement des mathématiques, formation des enseignants et publications. Les groupes sont formés d’enseignants-chercheurs et d’enseignants du primaire et du secondaire. Leurs recherches sur l’enseignement permettent :

• d’assimiler les thèmes étudiés par les chercheurs en pédagogie, en didactique, en histoire, etc.,
• de mettre ces thèmes en relation avec les pratiques de classe,
• de les proposer en formation à un public plus large.

Pour partager et échanger des idées venant de toutes les académies, les membres des IREM se réunissent régulièrement en commissions inter-IREM (CII). Ces commissions peuvent être organisées autour d’un niveau, comme la CII « Collège », la CII « Lycée professionnel », ou autour d’une thématique, telles la CII « Didactique » ou la CII « TICE ». Parmi ces dernières, la CII « Épistémologie et histoire des mathématiques » (CIIEHM) existe depuis 1975. Elle a produit de nombreux ouvrages pour participer à la formation des enseignants et pour promouvoir l’intégration de l’histoire des mathématiques en classe.

Dès le départ, ses membres soulignent l’importance de l’histoire des mathématiques dans la formation des professeurs de mathématiques. Cet intérêt est d’ordre culturel : « La découverte collective de l’histoire de notre discipline a été indissociable d’une interrogation plus profonde sur la place des sciences dans nos sociétés, leur transmission, leur diffusion » (Mathématiques au fil des âges, 1987,avant-propos), mais aussi d’ordre pédagogique : « Notre propos est plutôt d’éclairer les difficultés conceptuelles des programmes, par exemple les nombres négatifs, les nombres complexes, les limites, les fonctions, le calcul des probabilités, etc. » (ibidem) Dans les programmes de 2019, cet aspect culturel est bien présent aussi. Les items d’histoire fournissent certains éléments dont la connaissance plus approfondie permet à l’enseignant de prendre du recul sur les contenus ; même si certains items peuvent moins facilement donner lieu à un travail de classe (voir l’exemple des fonctions, en seconde, détaillé dans la suite), leur connaissance donne toutefois au professeur la possibilité d’aborder la notion sous un nouvel angle, de construire différemment son cours et de mieux appréhender les difficultés des élèves.

Il ne s'agit pas d'apprendre l'histoire des mathématiques aux élèves mais bien de leur faire faire des mathématiques à partir de leur histoire

De plus, les recherches réalisées par la CIIEHM montrent que l’histoire permet de comprendre que les contenus que l’on étudie ont répondu à des problèmes divers, internes ou externes aux mathématiques. Une quinzaine d’entre eux figurent par exemple dans l’ouvrage Histoire de problèmes. Histoire des mathématiques de la CIIEHM, paru en 1993. Ces problèmes constituent des sources de réflexion avec les élèves. Ils rendent les mathématiques plus vivantes et plus humaines. Ils permettent aussi des liens avec les autres disciplines. Les programmes de 2019 identifient quelques grands types de questions qui se sont ainsi posés : la modélisation du hasard en seconde, l’étude de la cinématique en première, les problèmes d’aire et de tangente en terminale, etc.

L'histoire doit venir enrichir le cours en aidant à mieux comprendre les notions et le contexte dans lequel elles se sont développées

Enfin, un point important pour l’enseignement, souvent réaffirmé dans les différents ouvrages de la CIIEHM : il ne s'agit pas d'apprendre l'histoire des mathématiques aux élèves mais bien de leur faire faire des mathématiques à partir de leur histoire. « Nous parlons de ‟perspective historique”, parce qu’il [ne] s’agit […] ni d’enseigner l’histoire des mathématiques, ni même de placer des plages historiques, mais d’intégrer l’histoire des sciences dans l’enseignement. L’introduction d’une perspective historique désigne largement la mobilisation de toute la réflexion épistémologique et historique de l’enseignant » (Les Mathématiques éclairées par l'histoire. Des arpenteurs aux ingénieurs, 2012, présentation).

Dans les programmes de 2019, l’idée n’est donc pas de faire apprendre aux élèves les contenus des items d’histoire, ni de parler d’histoire des mathématiques « en plus » du cours. Au contraire, l'histoire doit venir enrichir le cours en aidant à mieux comprendre les notions et le contexte dans lequel elles se sont développées. Les situations liées à l’histoire, avec éventuellement des extraits de textes historiques, sont alors des supports pour travailler les contenus.

Des pistes en lien avec les programmes

L’intégration concrète de cette perspective historique au sein des cours peut se faire de multiples façons, et à différents niveaux de maîtrise. Chaque enseignant peut commencer à son rythme. Il n’y a pas d’obligation à se lancer d’emblée dans la lecture d’un texte original avec ses élèves. Selon les domaines du programme, selon ses connaissances, selon ses habitudes pédagogiques, chacun peut trouver des modalités qui lui conviennent.

• On peut commencer par évoquer la vie d’un mathématicien ou d’une mathématicienne, faire chercher des biographies qui permettent d’humaniser la discipline.
• On peut exposer le contexte historique de la naissance d’une notion, les pistes suivies avant son élaboration, le ou les problèmes auxquels elle a répondu, puis la faire travailler de manière classique.
• On peut étudier des réponses historiques à des questionnements, des démonstrations, en les situant dans leur contexte mais en les reformulant dans un langage actuel pour les travailler plus facilement.
• On peut aussi étudier directement un texte historique pour en comprendre le contenu, identifier une méthode, la reformuler, la tester avec des outils modernes, etc.

Voyons plus précisément quelques exemples d’apports possibles, en lien avec des items des programmes.

• Pour les fonctions, en seconde, le programme indique : « On peut évoquer la très lente élaboration de la notion de fonction, depuis l’Antiquité jusqu’à la codification actuelle par Dirichlet, en mettant en évidence quelques étapes importantes : Newton, Leibniz, Euler. » Si ces étapes peuvent être présentées aux élèves, leur connaissance est avant tout un apport fondamental pour le professeur. L’étude des définitions successives, des différentes notations, des obstacles, aura nécessairement une influence sur la présentation du concept en classe, et elle permet de mieux comprendre les difficultés des élèves.
• Les logarithmes sont enseignés en terminale, dans la spécialité mais aussi dans l’option « Mathématiques complémentaires ». Dans le programme 2019 de cette option, ils font l’objet d’un thème d’étude spécifiquement tourné vers l’histoire : « Le thème décrit comment [la notion] a été introduite historiquement, avec ses deux aspects fondamentaux : équation fonctionnelle, quadrature de l’hyperbole. » Un diaporama présenté en formation, dans l’académie de Lille, contient des textes historiques sur ces deux aspects, leur explication en termes modernes, des pistes d’utilisation et de nombreuses références. L’enseignant qui n’osera pas se lancer dans l’étude de textes peut aussi, dans un premier temps, mettre plus facilement en avant le contexte dans lequel ils ont été élaborés : calculs en astronomie, manipulation de grands nombres, utilisation de tables de correspondance dont le principe peut être mis en œuvre en classe. Même si la suite du cours est classique, l’histoire permet ainsi à l’élève de comprendre les enjeux de ce qu’il apprend.
• Enfin, les textes historiques sont évidemment des supports riches pour différentes situations de classe : activités, exercices, études de démonstration, éléments de cours, etc. Pour la spécialité de première, la notion d’infiniment petit et le calcul infinitésimal peuvent permettre une première approche intuitive (elle-même potentiellement motivante pour les notations que les élèves utilisent en sciences physiques) avant de formaliser le calcul différentiel. L’étude d’un texte comme cet extrait de l’Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes(1696), du marquis de L’Hospital, peut faire travailler la démonstration, son lien avec les formules actuelles, son application avec d’autres opérations (qui peuvent se vérifier avec la suite de l’ouvrage).

En seconde, l’étude des nombres peut s’appuyer sur les constructions. Elles peuvent être source d’activités ou servir de base aux étapes du cours pour définir les différents ensembles. Par exemple, l’extrait de La Géométrie (1637) de Descartes ci-dessous permet de travailler sur les racines carrées ; le texte peut donner lieu à une réécriture avec le vocabulaire, et la justification de l’affirmation de Descartes permet d’aborder différentes formes de démonstrations, dont l’utilisation de l’algèbre.

Une fois convaincu de l’intérêt de l’histoire des mathématiques pour l’enseignement, et des multiples possibilités de le faire vivre en classe, il faut pouvoir trouver des ressources abordables.

Où trouver des ressources ?

Pour répondre à ses objectifs généraux, la CIIEHM a produit de nombreux ouvrages, en partenariat avec divers éditeurs, dans le but de former les enseignants et d’aider à l’introduction d’une perspective historique dans l’enseignement des mathématiques. Ces ouvrages sont issus des colloques organisés tous les deux ans, depuis 1977, mais aussi de travaux dédiés.

Certains couvrent des thèmes précis, en lien direct avec des contenus des programmes, comme :

• Histoires d’algorithmes. Du caillou à la puce (1994),
• Histoires de logarithmes (2006),
• Histoires de probabilités et de statistiques (2004) ;

Et d’autres sont plus généralistes et permettent de prendre du recul sur l’enseignement, comme :

• Histoire et enseignement des mathématiques. Rigueurs, erreurs, raisonnements (2007),
• Histoires de problèmes, histoire des mathématiques (1993).

Enfin, nous signalons De grands défis mathématiques d’Euclide à Condorcet (2010) et Les Mathématiques éclairées par l’histoire. Des arpenteurs aux ingénieurs (2012), qui présentent des exemples d’activités de classe intégrant une perspective historique. Sans pour autant les donner « clé en main » – car elles nécessitent une appropriation personnelle –, les articles détaillent les raisons d’être de ces activités, les sources utilisées et le travail effectif avec les élèves.

Le site de la CIIEHM présente une liste de publications, ainsi que d’autres ressources, parmi lesquelles figure la rubrique « Mathématiques : les grands textes ».

Parmi les travaux des IREM, on trouve aussi des articles d’histoire des mathématiques dans la revue Repères-IREM. Dans les différents IREM, les groupes d’histoire ont également publié des ressources sous forme de brochures ou d’articles en ligne. Par exemple, les deux brochures de l’IREM de Poitiers : Des tangentes aux infiniments petits  en 1998 (notice) et Histoire de Symboles en 2003 (extraits). L’IREM de Caen-Normandie met à disposition les textes historiques étudiés en formation ainsi que des compléments. Le groupe M:ATH (pour « Mathématiques : approche par des textes historiques ») de l’IREM de Paris a édité des reproductions de textes anciens et la revue Mnémosyne, qui contient des réflexions sur des contenus d’enseignement et des expériences de classes. De manière générale, conformément à leurs objectifs de travail, les documents publiés par les IREM sont adaptés aux enseignants et à l’enseignement. Le lecteur qui voudra encore approfondir les apports proposés y trouvera des bibliographies avec des écrits plus spécialisés et des textes originaux, pour une grande part accessibles sur Gallica. D’autres sites dédiés aux enseignants présentent des ressources intéressantes, telles les pages du groupe « Histoire des mathématiques » de l’Apmep (Association des professeurs de mathématiques), ou la rubrique « Histoire » des sites Images des mathématiques  et CultureMath.

Enfin, pour rechercher des articles ou des ouvrages, la base de données Publimath recense de nombreux livres et revues, en particulier ceux des IREM et de l’Apmep, mais pas seulement. Une recherche avec la phrase clé « histoire des mathématiques » renvoie à plus de 9 000 fiches, et avec « activité historico-mathématique », à plus de 300 fiches. Évidemment, la recherche peut être affinée sur des thèmes plus précis.